Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в коде числа.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от места (позиции) цифры в числе. Так в числе 222 цифра 2 встречается трижды. Но самая правая означает две единицы, вторая справа — два десятка (двадцать) и, наконец, третья — две сотни (двести).

В привычной нам системе счисления для записи чисел используются десять различных знаков (цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9). Поэтому ее называют десятичной. Из двух написанных рядом цифр (55) левая выражает число, в десять раз большее, чем правая. Имеет значение не только сама цифра, но и ее место, позиция. Именно поэтому такую систему счисления называют позиционной (поместной).

Потребовалось много тысячелетий, чтобы люди научились называть и записывать числа так, как это делаем мы с вами. Начало этому было положено в Древнем Египте и Вавилоне и было в основном завершено индийскими математиками в V—VII вв. н.э. Арабы, познакомившись с этой нумерацией первыми, по достоинству ее оценили. Получив название арабской, эта система в Xii в. н.э. распространилась по всей Европе и, будучи проще и удобнее остальных систем счисления, быстро их вытеснила. Произошло это еще и потому, что простейший счетный прибор, работающий в десятичной системе счисления, был всегда у человека под рукой — это его 10 пальцев. В XIII веке монах Беда Достопочтенный составил описание правил счета, согласно которым различные загибы фаланг пальцев позволяли изображать единицы, десятки, сотни и тысячи, а определенные жесты рук — считать до миллиона. Правда, такой "инструмент' имел один весьма существенный недостаток — неудобство хранения результатов даже в течение короткого времени. Но зато у него есть и ряд немаловажных достоинств, которыми современные ученые пытаются наделить современные счетные устройства. Это, прежде всего, простота и надежность, а также компактность и удобство "хранения и транспортировки".

Сегодня десятичными числами выражаются время, номера домов и телефонов, цены, бюджет, на них базируется метрическая система мер. Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат известные каждому школьнику таблицы умножения и сложения, а также правило переноса: если в результате сложения двух цифр получается число, которое больше или равно 10, то оно записывается с помощью двух цифр, находящихся на соседних позициях.

Изучаемые в самом раннем возрасте, эти правила в результате повседневной практики усваиваются так прочно, что мы оперируем ими уже подсознательно. По этой причине сегодня многие люди даже не догадываются о существовании других систем счисления.

Кроме десятичной истории цивилизации известны многие другие позиционные системы счисления, в том числе двадцатеричная и шестидесятеричная системы счисления. Остатки последней мы находим в сохранившемся до наших дней обыкновении делить один час на 60 минут, одну минуту — на 60 секунд.

В Китае долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

Широкое распространение до первой трети XX в. имели элементы двенадцатеричной системы счисления. При этом число двенадцать (дюжина) даже составляло конкуренцию десятке в борьбе за почетный пост основания общеупотребительной системы счисления. Дело в том, что число 12 имеет больше делителей (2, 3, 4, 6), чем 10 (2 и 5). Поэтому в двенадцатеричной системе счисления гораздо удобнее производить расчеты, нежели в десятичной. Неудивительно, что в XIX в. среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему. И только возможность счета по пальцам рук склонила чашу весов. Тем не менее дюжина достаточно прочно вошла в нашу жизнь: в сутках две дюжины часов, час делится на пять дюжин минут, круг содержит тридцать дюжин градусов, фут делится на двенадцать дюймов. Влияние двенадцате-ричной системы счисления ощущается сегодня хотя бы в том, что карандашей или фломастеров в наборе обычно бывает 6, 12, 24 и т.д.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любого числа.

Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749— 1827) такими словами оценил "открытие" позиционной системы счисления: "Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения но форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна".